Расчетно-графическая работа №3

Расчетно-графическая работа №3

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Вариант №11

1.Найти все значения корня .

Пусть тогда

Здесь число 8 и z3 представлено в тригонометрической форме.

Из второй пары уравнений следует:

или

Подставляя полученные углы, в тригонометрическую форму записи z, получим алгебраическую форму записи корней.

Полученные корни отмечены синими точками на рис.1

. я

Рис.1 Сними точками отмечены кубические корни из 8

2.Построить кривую .

Пусть z = x+iy, тогда

Домножая числитель и знаменатель на комплексносопряженное знаменателя (x-i(y+2)) получим:

или

-- это вертикальная прямая, проходящая через начало координат, -- это ось ординат.

3.Построить область, заданную неравенствами: .

Построим кривую заданную уравнением

Последнее равенство представляет собой уравнение окружности радиуса R=2 с центром в точке С Расчетно-графическая работа №3 (0,-1). Окружность делит пространство плоскости на две области. Во внешней области окружности выполняется неравенство:

Внутри окружности выполняется:

Для определения соответствия области неравенству надо в неравенство подставить какую-нибудь конкретную точку. Например, для точки, лежащей вне окружности (0,10) выполняется первое неравенство, следовательно, внутри окружности выполняется второе неравенство.

Построение:

Построим окружность радиуса 2 с центром (0,-1).

Построим две прямых: y = 0, и y = 1.

Построенные прямые выделяют на комплексной плоскости полосу, в пределах которой вполняется соотношение . Пересечение внутренней области окружности и полосы дает искомую область. рис.2.

Рис.2 Область задаваемая неравенствами

4.Представить число в алгебраической форме:

а) ,

б) .

а).

б).

Пусть

Подставляя и учитывая, что

получим

5.Проверить, что является действительной Расчетно-графическая работа №3 частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части и значению .

Функция удовлетворяет уравнению Лапласа,

поэтому может быть мнимой частью аналитической функции.

Аналитическая функция удовлетворяет соотношениям Коши-Римана:



Из первого соотношения Коши-Римана вытекает:

Интегрируя по y получим:

Здесь С(х) произвольная константа, которая тем не менее зависит от х.

Подставляя это выражение во второе соотношение Коши-Римана, получим:

Таким образом, аналитическая функция имеет вид:

Из условия

получим С2=0

Окончательно

6.Вычислить интеграл от функции комплексной переменной по заданной кривой
, .

На рисунке ниже показана кривая, по которой производится интегрирование (BDECB).

На отрезках EC и BD . На дугах Расчетно-графическая работа №3 DE и CB , где для дуги DE

для дуги CB

Интеграл распадается на 4 интеграла:

Складывая получим:

7.Найти лорановское разложение функции по степеням z.

8.Определить тип особой точки z=0 для функции .

Рассмотрим предел выражения

это предел типа . Применим для вычисления предела правило Лопиталя.

Так как предел равен ∞, то точка z – полюс..

9.Для функции найти изолированные точки и определить их тип.

10.Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

11.Вычислить интегралы действительной переменной:

а) ,

б) ,

Введем комплексную переменную

тогда

При этой подстановке интеграл от действительной переменной t переходит в интеграл от комплексной переменной z по еденичной окружности.

Находим полюса подинтегральной функции:

Очевидно, что точка z2 лежит вне окружности Расчетно-графическая работа №3, поэтому интеграл равен вычету по внутренней точке z1.

б).

Делаем такую же замену как и в случае а). , учитываем, что

и после подстановки получим:

Находим полюсы подинтегральнй функции:

Очевидно, что только z1 лежит внутри контура интегрирования. Интеграл зпишется так:

12.Найти оригинал по данному изображению .

Разложим приведенное выражение на элементарные дроби методом неопределенных коэффицентов.

Приравнивая коэффициенты в числителе, при одинаковых степенях p, получим систему

Решая получим

или

Из таблицы преобразований Лапласа (mathprof.ru) находим оригиналы:

из которых окончательно получим:

13.Операционным методом решить задачу Коши:

а) ,

б) ,

в) .

а).

Преобразоваие Лапласа от левой части уравнения дается фомулами:

Так как выполнить преобразование Лапласа от правой части трудно представим Расчетно-графическая работа №3 решение с помощью интеграла Дюамеля.

где , y1(t) -- решение дифференциального уравнения

После преобразования Лапласа получим:

По таблице находим

б).

После преобразоваия Лапласа получим

Первую дробь в правой части последнего уравнения представим в виде:

вторую часть – в виде:

Из таблиц находим оригиналы изображений:

откуда найдем

в).

После преобразования Лапласа получим систему уравнений для образов.

Выразим Y(p) из первого уравнения и подставим во второе:

тогда

Разложим образы на простейшие дроби:

Для коэффициентов A,B,C,D,E,F имеем

т.е

Из таблиц находим

Дата добавления: 2015-09-30; просмотров: 2 | Нарушение авторских прав


documentaxazuqr.html
documentaxbacaz.html
documentaxbajlh.html
documentaxbaqvp.html
documentaxbayfx.html
Документ Расчетно-графическая работа №3